Question

【題目】等比數列{an}的前n項和為Sn ， 已知對任意的n∈N+ ， 點（n，Sn）均在函數y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數的圖象上．
（1）求r的值．
（2）當b=2時，記bn=2（log2an+1）（n∈N+），證明：對任意的n∈N+，不等式成立 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）因為對任意的n∈N+，點（n，Sn），

均在函數y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數的圖象上．

所以得Sn=bn+r，當n=1時，a1=S1=b+r，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=bn+r﹣（bn﹣1+r）=bn﹣bn﹣1=（b﹣1）bn﹣1，

又因為{an}為等比數列，所以r=﹣1，公比為b，an=（b﹣1）bn﹣1

（2）當b=2時，an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，bn=2（log2an+1）=2（log22n﹣1+1）=2n

則 ，

所以

下面用數學歸納法證明不等式 成立．

當n=1時，左邊= ，右邊= ，

因為 ，所以不等式成立．

假設當n=k時不等式成立，

即 成立

則當n=k+1時，

左邊=

所以當n=k+1時，不等式也成立．

由①、②可得不等式恒成立

【解析】本題考查的數學歸納法及數列的性質．（1）由已知中因為對任意的n∈N+ ， 點（n，Sn），均在函數y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數的圖象上．根據數列中an與Sn的關系，我們易得到一個關于r的方程，再由數列{an}為等比數列，即可得到r的值．（2）將b=2代入，我們可以得到數列{an}的通項公式，再由bn=2（log2an+1）（n∈n），我們可給數列{bn}的通項公式，進而可將不等式 進行簡化，然后利用數學歸納法對其進行證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數學歸納法的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．