Question

【題目】已知函數（，是自然對數的底數）.

（1）若函數在點處的切線方程為，試確定函數的單調區間；

（2）①當，時，若對于任意，都有恒成立，求實數的最小值；②當時，設函數，是否存在實數，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）①；②存在，使得命題成立

【解析】

（1）利用切線方程可知，，從而構造出方程組求得，得到解析式，根據導函數的符號確定的單調區間；（2）①將問題轉化為對任意恒成立；設，利用導數求解，可得；②設存在，使得，將問題轉化為，利用導數分別在，和研究的最大值和最小值，從而根據最值的關系可求得的取值范圍.

（1）由題意

在點處的切線方程為：

，，即： 解得：，

，

當時，，當時，

在上單調遞減，在上單調遞增

（2）①由，，，即：

對任意，都有恒成立等價于對任意恒成立

記，

設 對恒成立

在單調遞增

而，

在上有唯一零點

當時，，當時，

在單調遞減，在上單調遞增

的最大值是和中的較大的一個

，即 ，

的最小值為

②假設存在，使得，則問題等價于

⑴當時，，則在上單調遞減

，即，得：

（2）當時，，則在上單調遞增

，即，得：

（3）當時，當時，；當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增

，即……（*）

由（1）知在上單調遞減，故，而

不等式（*）無解

綜上所述，存在，使得命題成立