Question

已知圓O：x²+y²=9，定點(diǎn) A（6，0），直線l：3x-4y-25=0
（1）若P為圓O上動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程
（2）設(shè)E、F分別是圓O和直線l上任意一點(diǎn)，求線段EF的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用M是線段PA的中點(diǎn)，尋找動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系，借助于P在圓O上，從而求出M的軌跡方程
（2）根據(jù)圖形易知，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)圓心垂直于已知直線時(shí)取得最大與最小值．

解答：（1）解：設(shè)圓O上動(dòng)點(diǎn)P（x₁，y₁），線段PA的中點(diǎn)M（x，y）
由P在圓O上，得x₁²+y₁²=9，…（I）
又M是線段PA的中點(diǎn)，則

x1+6=2x y1+0=2y

，∴

x1=2x-6 y1=2y

∴P（2x-6，2y）
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入（I）得：（2x-6）²+（2y）²=9，
故；(x-3)2+(y)2=

9

4

是所求的軌跡方程．
（2）解：過(guò)點(diǎn)O作直線OK⊥l于K，交圓O于A、B兩點(diǎn)（如圖2）|EF|_min=|AK|=|OK|-|OA|=5-3=2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查代入法求軌跡，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．