Question

【題目】已知函數滿足，定義數列， ， ，數列的前項和為， ，且．

（1） 求數列、的通項公式；

（2）令，求的前項和；

（3）數列中是否存在三項使成等差數列，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) ,;(2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析：

(1)結合題意中的遞推關系可得,；

(2)結合(1)的結論錯位相減可得；

(3)假設存在滿足題意的，結合題意討論可得矛盾，假設不成立，即不存在任三項能構成等差數列．

試題解析：

（1）由題意知： ， 又

是以1為首項，2為公比的等比數列，故，

由， 可得：

是等差數列， ,當時， 滿足上式，

（2），

……①

兩邊同乘公比得， ……②

①②得化簡得： .

（3）假設存在使成等差數列，

則， ，兩邊同除，得，

為偶數，而為奇數，因左邊為偶數，右邊為奇數，矛盾．

∴假設不成立，故不存在任三項能構成等差數列．