Question

已知函數．
（1）若是偶函數，在定義域上恒成立，求實數的取值范圍；
（2）當時，令，問是否存在實數，使在上是減函數，在上是增函數？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)
(2)

試題分析：解:（1）是偶函數，即，  
又恒成立即
當時   
當時，，  
當時，， 
綜上：                 
（2）
是偶函數，要使在上是減函數在上是增函數，即只要滿足在區間上是增函數在上是減函數 ．
令，當時；時，由于時，
是增函數記，故與在區間上有相同的增減性，當二次函數在區間上是增函數在上是減函數，其對稱軸方程為．
點評：主要是考查了函數奇偶性和單調性以及不等式的恒成立問題的綜合運用，屬于基礎題。