Question

已知函數f(x)=x²–(m+1)x+m(m∈R)

(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的兩個實根，A、B是銳角三角形ABC的兩個內角  求證:m≥5;

(2)對任意實數α,恒有f(2+cosα)≤0，證明m≥3;

(3)在(2)的條件下，若函數f(sinα)的最大值是8，求m.

Answer 1

解析:

（1）證明:f(x)+4=0即x²–(m+1)x+m+4=0.  依題意:

 

又A、B銳角為三角形內兩內角

∴＜A+B＜π

∴tan(A+B)＜0，即

∴∴m≥5

(2)證明: ∵f(x)=(x–1)(x–m)

又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0

即1≤x≤3時，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0

∴m≥x但x_max=3，∴m≥x_max=3

(3)解:

∵f(sinα)=sin²α–(m+1)sinα+m=

且≥2,

∴當sinα=–1時，f(sinα)有最大值8.

即1+(m+1)+m=8，∴m=3