Question

（本小題12分）
如圖，已知為平行四邊形，，，，點(diǎn)在上，，，與相交于．現(xiàn)將四邊形沿折起，使點(diǎn)在平面上的射影恰在直線上．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求折后直線DN與直線BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐N—ABF的體積．

Answer 1

（Ⅰ）平面
（Ⅱ）=
（Ⅲ）

解：（Ⅰ），得面
則平面平面，
由平面平面,
則在平面上的射影在直線上,
又在平面上的射影在直線上,
則在平面上的射影即為點(diǎn),
故平面．        --------4分
（Ⅱ）法一．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，
則BN=，DN=2，∴折后圖中BD=3，BC=3
∴N（0，，0），D（0，0，3），C（3，0，0）=（-1，0，0）
∴（-1，，0）（0，，-3）
∴=
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為                          -----9分
法二．在線段BC上取點(diǎn)M，使BM=BF，則MN∥BF
∴∠DNM或其補(bǔ)角為DN與BF所成角．
又MN=BF=2，DM=．
∴
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為
（Ⅲ）∵AD∥EF，  ∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，
∴
即所求三棱錐的體積為                              ------14分