Question

（2013•東莞二模）已知函數f(x)=tan(

1

3

x-

π

6

)
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f(

3π

2

)的值；
（3）設f(3α+

7π

2

)=-

1

2

，求

sin(π-α)+cos(α-π)

2 sin(α+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；
（2）將x=3α+

7π

2

代入函數解析式，根據已知等式利用誘導公式化簡求出tanα的值，所求式子利用誘導公式變形后，分子分母除以cosα，利用同角三角函數間的基本關系弦化切變形后，將tanα的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）f（x）的最小正周期為T=

π

1 3

=3π；
（2）將x=

3π

2

代入得：f（

3π

2

）=tan（

3π

6

-

π

6

）=tan

π

3

=

3

；
（3）由f（3α+

7π

2

）=-

1

2

，得tan[

1

3

（3α+

7π

2

）-

π

6

]=-

1

2

，即tan（π+α）=-

1

2

，
∴tanα=-

1

2

，
∵cosα≠0，
則原式=

sinα-cosα

sinα+cosα

=

tanα-1

tanα+1

=

- 1 2 -1

- 1 2 +1

=-3．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，同角三角函數間的基本關系的運用，以及誘導公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．