Question

【題目】如圖，A 為橢圓的下頂點(diǎn)，過(guò) A 的直線 l 交拋物線于B、C 兩點(diǎn)，C 是 AB 的中點(diǎn)．

（I）求證：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是定值；

（II）過(guò)點(diǎn)C作與直線 l 傾斜角互補(bǔ)的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求p的值，使得△BMN的面積最大．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（II）見解析

【解析】

（I）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上設(shè)出B的坐標(biāo)，可表示出C的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得縱坐標(biāo).

（II）先利用條件得到，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長(zhǎng)及到的距離，寫出面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最值及相應(yīng)的參數(shù)即可.

（Ⅰ）易知，不妨設(shè)，則，

代入拋物線方程得：

，得：，為定值.

（Ⅱ）點(diǎn)是中點(diǎn)，

直線的斜率，直線的斜率，

直線的方程：，即，

不妨記，則：

代入橢圓方程整理得：，

設(shè)，則

，，

，

到的距離，

所以 .

取等號(hào)時(shí)，，得，所以，.