Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數恰有一個極值點，求實數a的取值范圍；

（2）當，且時，證明：.（常數是自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

1，等價于方程在恰有一個變號零點．

即在恰有一個變號零點．令，利用函數圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導數即可證明．

Ⅰ，，

，

函數恰有一個極值點，

方程在恰有一個變號零點．

在恰有一個變號零點．

令，則．

可得時，，函數單調遞增，

時，，函數單調遞減．

函數草圖如下，

可得，

．

實數a的取值范圍為：

2要證明：證明．

證明，即證明．

令則，

時，，函數遞增，時，，遞減．

，即原不等式成立．

要證明，即證明．

，

故只需證明即可．

令，則．

時，，函數遞減，時，，函數遞增．

，

又，

故原不等式成立．

綜上，，