Question

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F₁，F₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且IG∥F₁F₂。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C(，0)求實數k的取值范圍。

Answer 1

解：⑴設P(x₀，y₀)，x₀±a，則G(，) ∵IG∥F₁F₂ ∴Iy=  |F₁F₂|=2c
∴S△F₁PF₂=·|F₁F₂|·|y₀|=(|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|) · ||　　　……………………（4分）　
∴2c·3="2a+2c " ∴e== 又∵b= ∴b= ∴a=2∴橢圓C的方程為+=1(6分)
⑵設A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)   ，消去y  (3+4k²)x²+8kmx+4m²－12=0
∴△=(8km)²－4(3+4k²)(4m²－12)＞0，即m²＜4k²+3又∵x₁+x₂=－，則y₁+y₂=
∴線段AB的中點P的坐標為(－, )                    …………(8分)   
又線段AB的垂直平分線l′的方程為y= (x－)                     …………(9分)
點P在直線l′上，=－ (－－)                   …………(10分)
∴4k²+6km+3="0 " ∴m=－(4k²+3) ∴＜4k²+3， ∴k²＞  
∴k＞或k＞－ ∴k的取值范圍是(－∞，－)∪(，+∞)  …………(13分)

略