Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓過坐標原點且圓心在曲線上.

（1）求圓面積的最小值；

（2）設直線與圓交于不同的兩點、，且，求圓的方程；

（3）設直線與（2）中所求圓交于點、，為直線上的動點，直線，與圓的另一個交點分別為，，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析；

【解析】

（1）由題意設圓心為，半徑，利用基本不等式求出半徑的最小值，從而得到面積的最小值；

（2）由，知，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，解方程可得，討論的取值，求得圓心到直線的距離的距離，即可得到所求圓的方程；

（3）設，，，求得，的坐標，和的方程，聯立圓的方程，運用韋達定理，．設，則．設直線的方程為，代入圓的方程，運用韋達定理，可得，的關系，即可得到所求定點．

解：（1）由題意可設圓的圓心為，

則半徑為（當且僅當時取等號），

所以圓的面積最小值為.

（2）由，知.

所以，解得.

當時，圓心到直線的距離小于半徑，符合題意；

當時，圓心到直線的距離大于半徑，不符合題意.

所以，所求圓的方程為.

（3）設，，，又知，，

所以，．

顯然，設，則．

從而直線方程為：，

與圓的方程聯立，

消去，可得：，

所以，，即；

同理直線方程為：，

與圓的方程聯立，

消去，可得：，

所以，，即．

所以；

．

消去參數整理得． ①

設直線的方程為，代入，

整理得．

所以，．

代入①式，并整理得，

即，解得或．

當時，直線的方程為，過定點；

當時，直線的方程為，過定點

第二種情況不合題意（因為，在直徑的異側），舍去．

所以，直線過定點．