Question

設點F(0,),動圓P經過點F且和直線y=相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W.
⑴求曲線W的方程；⑵過點F作相互垂直的直線，，分別交曲線W于A,B和C,D.①求四邊形ABCD面積的最小值；②分別在A,B兩點作曲線W的切線，這兩條切線的交點記為Q,求證：QA⊥QB,且點Q在某一定直線上。

Answer 1

（1）；（2）.

本試題主要是考查直線與圓的位置關系，以及拋物線方程的求解，和三角形面積的計算。
解：⑴由切線性質及拋物線定義知W的方程:
⑵①設方程：，方程：，由弦長公式易知：四邊形ABCD的面積S==18≥72，K=±1時，.
②由⑴知W的方程為：，故，則：QA⊥QB.聯立方程和得交點Q即Q，當k取任何非零實數時，點Q總在定直線上。