Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以原點為極點，以軸為非負半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系相同的長度單位.圓的方程為被圓截得的弦長為.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）設圓與直線交于點，若點的坐標為，且，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先將圓C的方程化成直角坐標方程，直線l化成普通方程，再由圓心到直線的距離以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）聯立直線l與圓C的方程，根據韋達定理以及參數的幾何意義可得．

（Ⅰ）由得即. 直線的普通方程為， 被圓截得的弦長為，所以圓心到的距離為，即解得.

（Ⅱ）法1：當時，將的參數方程代入圓的直角坐標方程得，

，即，由于，故可設是上述方程的兩實根，所以又直線過點，故由上式及的幾何意義得， .

法2：當時點，易知點在直線上. 又，

所以點在圓外.聯立消去得，.

不妨設，所以 .