Question

將棱長為的正方體截去一半（如圖甲所示）得到如圖乙所示的幾何體，點分別是的中點.

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ．

解析試題分析：（Ⅰ）證明：，證明兩線垂直，只需證一線垂直另一線所在的平面，因此本題的關鍵是找平面，注意到過的線中，可考慮連接，看是否垂直平面,因此本題轉化為只要證明即可，由平面幾何知識易證；（Ⅱ）求棱錐的體積，直接求，底面面積及高都不好求，但注意到棱錐與棱錐是一個幾何體，而這個棱錐的高為，而的面積，故體積容易求，值得注意的是，當一個幾何體的體積不好求是，可進行轉化成其它幾何體來求．
試題解析：（Ⅰ）證：連接，交于點，∵平面，平面,∴，
∵點，分別是，　的中點，　∴，　又∵，，∴≌，∴，又∵,∴，
∴，即，又∵,∴平面,
又∵平面,∴；
（Ⅱ）解：∵平面，∴是三棱錐的高，且，
∵點，分別是，的中點，∴，∴，∴
考點：線線垂直的判定、線面垂直的判定、以及棱錐的體積公式．