Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是梯形，且，,,,,.

（1）求證：平面 平面;

（2）若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

(1) 取中點，連接、、，證明和可得平面（2）以為原點建立空間直角坐標系，如圖，求平面ASD和平面SDC的法向量，利用向量的夾角公式計算即可.

解：（1）取中點，連接、、，在直角梯形中，，，，

∴，，；

∴，又

∴為等邊三角形．

∵，∴ ．

∵，∴．∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（2）∵，∴．

由（1）知，平面平面，∴平面，

∴直線兩兩垂直．以為原點建立空間直角坐標系，如圖，

則．

∴．

設平面的法向量為，

由，得，取，得，

設平面的法向量為，由，得，取，

得，

∴，

由圖可知二面角為鈍二面角，

∴二面角的余弦值為．