Question

已知函數f(x)＝為奇函數，f(1)＜f(3)，
且不等式0≤f(x)≤的解集是{x|－2≤x≤－1或2≤x≤4}．
(1)求a，b，c的值；
(2)是否存在實數m使不等式f(－2＋sinθ)＜－m²＋對一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

　(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)對定義域內的一切x都成立，
即b＝0.
從而f(x)＝(x＋)．
又∵
即
∴f(2)＝0，解之，得c＝－4.
再由f(1)＜f(3)，得或從而a＞0.
此時f(x)＝(x－)
在[2,4]上是增函數．
注意到f(2)＝0，則必有f(4)＝，∴(4－)＝，
即a＝2.
綜上可知，a＝2，b＝0，c＝－4.
(2)由(1)，得f(x)＝(x－)，該函數在(－∞，0)以及(0，＋∞)上均為增函數．
又∵－3≤－2＋sinθ≤－1，
∴f(－2＋sin θ)的值域為
[－，]．
符合題設的實數m應滿足－m²＞，即m²＜0，故符合題設的實數m不存在．

略