Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0), 的中心和的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點.
（Ⅰ）寫出拋物線的標準方程；
（Ⅱ）若，求直線的方程；
（Ⅲ）若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值.

Answer 1

（1）（2）或（3）

（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，                                 …………2分
（Ⅱ）設直線的方程為：.

聯立，消去，得，                    ……………3分
顯然，設，
則                  ①
        ②                                     …………………4分
又，所以     ③                                        …………………5分
由①②③消去，得   ，              
故直線的方程為或 .                             …………………6分
（Ⅲ）設，則中點為，因為兩點關于直線對稱，
所以，即，解之得，                         …………………8分
將其代入拋物線方程，得：
，所以，.                                               ………………………9分
聯立，消去，得：
.                                          ………………………10分
由，得
，即，                                 …………………12分
將，代入上式并化簡，得
，所以，即，   
因此，橢圓長軸長的最小值為.                                          ………………………13分