Question

已知曲線C₁：（為參數），曲線C₂：（t為參數）．
（1）指出C₁，C₂各是什么曲線，并說明C₁與C₂公共點的個數；
（2）若把C₁，C₂上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線．寫出的參數方程．與公共點的個數和C公共點的個數是否相同？說明你的理由．

Answer 1

（1）的普通方程為，的普通方程為，所以與只有一個公共點；（2）壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．

試題分析：本題主要考查參數方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關系、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，利用參數方程中參數將參數方程轉化成普通方程，判斷圖形形狀，再利用圓心到直線的距離與半徑的關系判斷直線與圓的位置關系；第二問，先將原和的縱坐標壓縮為原來的一半，得到曲線和的參數方程，再轉化成普通方程得到直線和橢圓，2個方程聯立，消參，利用判別式判斷有幾個交點．
試題解析：（1）是圓，是直線．
的普通方程為，圓心，半徑．
的普通方程為．                        2分
因為圓心到直線的距離為，
所以與只有一個公共點．                            4分
（2）壓縮后的參數方程分別為
：（為參數）； ：（t為參數）．
化為普通方程為：：，：，     6分
聯立消元得，
其判別式，     7分
所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．