Question

甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為

1

2

與p，且乙投球2次均未命中的概率為

1

16

．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出事件，根據運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為

1

2

與p，且乙投球2次均未命中的概率為

1

16

，寫出關于p的方程，解方程即可把不合題意的結果舍去．
（II）甲投球2次，至少命中1次，表示有一次命中，或有兩次命中，寫出事件對應的概率表示式，得到結果．
（III）甲、乙兩人各投球2次，兩人共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次．這三種情況是互斥的，寫出概率．

解答：解：（Ⅰ）設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B．
由題意得(1-P(B))2=(1-p)2=

1

16

解得p=

3

4

或

5

4

（舍去），
∴乙投球的命中率為

3

4

．
（Ⅱ）由題設和（Ⅰ）知P(A)=

1

2

，P(

.

A

)=

1

2

故甲投球2次至少命中1次的概率為

C

1 2

P(A)P(

.

A

)+P(A)P(A)=

3

4

（Ⅲ）由題設和（Ⅰ）知，P(A)=

1

2

，P(

.

A

)=

1

2

，P(B)=

3

4

，P(

.

B

)=

1

4

甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：
甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次．
概率分別為

C

1 2

P(A)P(

.

A

)•

C

1 2

P(B)P(

.

B

)=

3

16

，P(A•A)P(

.

B

•

.

B

)=

1

64

，P(

.

A

•

.

A

)P(B•B)=

9

64

所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為

3

16

+

1

64

+

9

64

=

11

32

．

點評：本小題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．本題的第二問也可以這樣解由題設和（Ⅰ）知P(A)=

1

2

，P(

.

A

)=

1

2

．故甲投球2次至少命中1次的概率為1-P(

.

A

•

.

A

)=

3

4