Question

點A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=

2

，AC=2，若四面體ABCD的體積的最大值為

2

3

，則這個球的表面積為（　　）

A． 125 6 π

B．8π

C． 25 4 π

D． 25 16 π

Answer 1

根據題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為

1

3

×S_△ABC×DQ=

2

3

，
即

1

3

×1×DQ=

2

3

，∴DQ=2，如圖．
設球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=

5

4

則這個球的表面積為：S=4π（

5

4

）²=

25

4

π；
故選C．