Question

設函數，其圖象與軸交于，兩點，且x₁＜x₂．
（1）求的取值范圍；
（2）證明：（為函數的導函數）；
（3）設點C在函數的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記，求的值．

Answer 1

（1）;（2）詳見解析;（3） 

試題分析：（1）根據題意圖象與軸交于，兩點，由零點的定義可得：函數的圖象要與x軸有兩個交點，而此函數的特征不難發現要對它進行求導，運用導數與函數的關系進行求函數的性質，即：，a的正負就決定著導數的取值情況，故要對a進行分類討論：分和兩種情況，其中顯然不成立，時轉化為函數的最小值小于零，即可求出a的范圍; （2）由圖象與軸交于，兩點，結合零點的定義可得：整理可得：，觀察其結構特征，可想到整體思想，即：，目標為：，運用整體代入化簡可得：，轉化為對函數進行研究，運用導數知識不難得到，即：，故而是單調增函數，由不等式知：，問題可得證; （3）由題意有，化簡得，而在等腰三角形ABC中，顯然只有C = 90°，這樣可得，即，結合直角三角形斜邊的中線性質，可知，所以，即，運用代數式知識處理可得： ，而，所以，即，所求得 
試題解析：（1）．
若，則，則函數是單調增函數，這與題設矛盾．         2分
所以，令，則．
當時，，是單調減函數；時，，是單調增函數；
于是當時，取得極小值．                                    4分
因為函數的圖象與軸交于兩點，(x₁＜x₂)，
所以，即
此時，存在；
存在，
又由在及上的單調性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍.   6分
（2）因為 兩式相減得
記，則，     8分
設，則，所以是單調減函數，
則有，而，所以．
又是單調增函數，且
所以．                                           11分
（3）依題意有，則．
于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°，        13分
所以，即，
由直角三角形斜邊的中線性質，可知，
所以，即，
所以，
即．
因為，則，
又，所以，                    15分
即，所以                               16分