Question

已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)若函數上是減函數，求實數a的最小值；
(3)若，使成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1) 單調減區間是,增區間是;(2); (3)．

試題分析：(1)對求導函數后，解不等式可得單調區間；（2）由題知在上恒成立，即，可得，所以得的取值范圍；（3）原命題等價于當時，有對進行討論，利用函數單調性可得的范圍．
解：由已知函數的定義域均為,且．  1分
(1)函數,
當且時,;當時,．
所以函數的單調減區間是,增區間是．  3分
(2)因f(x)在上為減函數，故在上恒成立．
所以當時，．
又，
故當，即時，．
所以于是，故a的最小值為．  6分
(3)命題“若使成立”等價于
“當時，有”．       
由（Ⅱ），當時，，．
問題等價于：“當時，有”．     8分
當時，由（Ⅱ），在上為減函數，
則=，故．     
當時，由于在上為增函數，
故的值域為，即．
(i)若，即，在恒成立，故在上為增函數，
于是，=，不合題意．        10分
(ii)若，即，由的單調性和值域知，
唯一，使，且滿足：
當時，，為減函數；當時，，為增函數；
所以，=，．
所以，，與矛盾，不合題意．
綜上，得．                   14分