Question

（2012•安徽模擬）在數列{a_n}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（1）證明：數列{a_n-n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=

n

an-n

，數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：Sn+bn＞

16

9

．

Answer 1

分析：（1）數列{a_n}中，由a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，知an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*，a₁-1=1，由此能夠證明數列{a_n-n}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）得bn=

n

an-n

=

n

4n-1

，故Sn=1+2×

1

4

+3×

1

42

+…+(n-1)×

1

4n-2

+n×

1

4n-1

，由錯位相減法能求出Sn=

16

9

(1-

1

4n

)-

n

3×4n-1

，由此能夠Sn+bn＞

16

9

．

解答：解：（1）∵數列{a_n}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
∴an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*，a₁-1=1，
∴數列{a_n-n}是首項為1，且公比為4的等比數列，
∴an-n=1×4n-1，an=4n-1+n．
（2）由（1）得bn=

n

an-n

=

n

4n-1

，
∴Sn=1+2×

1

4

+3×

1

42

+…+(n-1)×

1

4n-2

+n×

1

4n-1

，
則

1

4

Sn=1×

1

4

+2×

1

42

+…+(n-1)×

1

4n-1

+n×

1

4n

，
相減得

3

4

Sn=(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

)-n×

1

4n

=

4

3

(1-

1

4n

)-n×

1

4n

，
∴Sn=

16

9

(1-

1

4n

)-

n

3×4n-1

，
∴Sn+bn=

16

9

-

16

9

×

1

4n

-

n

3×4n-1

+

n

4n-1

=

16

9

+

1

3×4n-1

•(2n-

4

3

)，
∵n≥1，∴2n-

4

3

＞0，
∴Sn+bn＞

16

9

．

點評：本題考查等比數列的證明和通項公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和錯位相減法的合理運用．