Question

【題目】太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統一的和諧美，定義：能夠將圓的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓的一個“太極函數”，則下列有關說法中：

①對于圓的所有非常數函數的太極函數中，一定不能為偶函數；

②函數是圓的一個太極函數；

③存在圓，使得是圓的一個太極函數；

④直線所對應的函數一定是圓的太極函數；

⑤若函數是圓的太極函數，則

所有正確的是__________．

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】對①顯然錯誤,如圖

對②,點(0,1)均為兩曲線的對稱中心,且f(x)=sinx+1能把圓一分為二,正確

對③,函數為奇函數,當x→0(x>0)時，

f(x)→+∞，

當x→+∞時,f(x)→1,[f(x)>1]，函數遞減；

當x→0(x<0)時,f(x)→∞，

當x→∞時,f(x)→1,[f(x)<1]，

函數f(x)關于(0,0)中心對稱，有三條漸近線y=±1，x=0，

可知，函數的對稱中心為間斷點，故不存在圓使得滿足題干條件

對于④直線(m+1)x(2m+1)y1=0恒過定點(2,1)，滿足題意。

對于⑤函數為奇函數,與圓的交點恒坐標為(1,1)，

∴且，

∴，

令,得

得t=1即x=±1；

對,當k=0時顯然無解,△<0即0<k2<4時也無解，

即k∈(2,2)時兩曲線僅有兩個交點，函數能把圓一分為二，且周長和面積均等分。

若k=±2時，函數圖象與圓有4個交點，

若k2>4時，函數圖象與圓有6個交點，均不能把圓一分為二。

故所有正確的是②④⑤

故答案為：②④⑤