Question

【題目】已知圓經過點， 和直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）若直線經過點，并且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0．

【解析】試題分析：（1）先求線段AB的垂直平分線方程為，設圓心的坐標為C(a，－a－1)，由圓心到點的距離和到切線的距離相等求解即可；

（2）由題知圓心C到直線l的距離，進而討論直線斜率存在不存在兩種情況求解即可.

試題解析：

（1）由題知，線段AB的中點M(1,－2)， ,

線段AB的垂直平分線方程為，即，

設圓心的坐標為C(a，－a－1)，

則，

化簡，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，

半徑r＝|AC|＝＝．

∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2．

（解二：可設原方程用待定系數法求解）

（2）由題知圓心C到直線l的距離，

①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，此時直線l被圓C截得的弦長為2，

滿足條件．

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，由題意得，

解得k＝，

∴直線l的方程為y＝（x－2）．

綜上所述，直線l的方程為x＝2或3x－4y－6＝0．