Question

【題目】已知橢圓，過(guò)橢圓右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：對(duì)于問(wèn)題（1）可以先根據(jù)題目的條件寫出直線方程，再由直線與圓相切，即可求出的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；對(duì)于問(wèn)題（2），首先討論直線的斜率存在與否，當(dāng)直線斜率存在時(shí)可設(shè)出直線的方程以及兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓與直線的方程，并結(jié)合韋達(dá)定理即可證出直線過(guò)定點(diǎn)，再驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)，直線仍過(guò)該定點(diǎn)．

試題解析：（1）∵直線過(guò)點(diǎn)和，∴直線方程為，

∵直線與圓相切，∴，解得，

∴橢圓的方程為

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，由得，得

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

，

得，

，

即，

由，，

即，

故直線過(guò)定點(diǎn)．