Question

【題目】正方形的棱長為1,點分別是棱的中點.

（Ⅰ）求二面角的余弦值;

（Ⅱ）以為底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三個頂點也都在該正方體的表面上,求這個正三棱柱的高.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）以為原點,以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，從而可求出二面角的余弦值；（Ⅱ）連接,分別取他們中點記為,分別連接，根據三角形中位線的性質，可推出且，進而推出為三棱柱的高，結合正方形的棱長為1，即可求值.

試題解析：（Ⅰ）以為原點,以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則點, , , .

∴,.

設平面的法向量為.

∴即，解得.

平面的法向量為

∴.

由圖可知,二面角為鈍角,故余弦值為.

（Ⅱ）連接,分別取他們中點記為,分別連接

是的中位線,

且, 且.

且.

同理可證且, 且,此時即為三棱柱高

.