Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB= ，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO= ，點F，G分別是線段PB，PD上的中點，E在PA上，且PA=3PE．
（Ⅰ）求證：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）求直線AB與平面EFG的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面EFG與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在△PBD中， ∵點F，G分別是線段PB，PD上的中點，
∴FG∥BD，
∵BD平面EFG，FG平面EFG，
∴BD∥平面EFG．
解：（Ⅱ）∵底面ABCD是邊長為2的菱形，
∴OA⊥OB，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB，
如圖，以O為原點，OA、OB、OP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
則 ， ， ，
∴ ， ， ，
設平面EFG的法向量為 =（x，y，z），
則 ，令 ，得 =（﹣ ），
∵cos＜ ， ＞= = ，
∴直線AB與平面EFG的成角的正弦值為 ．

（Ⅲ）法1：延長EF，EG分別交AB，AD延長線于M，N，連接MN，發(fā)現剛好過點C，
連接CG，CF，
則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面EFG與直線PC的交點為H，設 ，
則
由 =（﹣ ）（﹣ ）=0，解得λ=1．
所以H即為點C．
所以連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．

【解析】（Ⅰ）推導出FG∥BD，由此能證明BD∥平面EFG． （Ⅱ）推導出OA⊥OB，PO⊥OA，PO⊥OB，以O為原點，OA、OB、OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的成角的正弦值．（Ⅲ）法1：延長EF，EG分別交AB，AD延長線于M，N，連接MN，發(fā)現剛好過點C，連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面EFG與直線PC的交點為H，設 ，利用向量法求出λ=1．從而H即為點C．連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．