Question

設n為自然數，a、b為正實數，且滿足a+b=2，則

1

1+an

+

1

1+bn

的最小值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．1
• D．

  2

Answer 1

分析：將所求式變形，再利用基本不等式，即可求得最小值．

解答：解：

1

1+an

+

1

1+bn

=

an+bn+2

(1+an)(1+bn)

=1-

(ab)n-1

(1+an)(1+bn)

要使

1

1+an

+

1

1+bn

取得最小值，則

(ab)n-1

(1+an)(1+bn)

取得最大值
∵a、b為正實數，a+b=2，a+b≥2

ab

，∴0＜ab≤1
∵n為自然數，∴（ab）ⁿ-1≤1-1=0
當且僅當（ab）ⁿ=1時，（ab）ⁿ-1取得最大值0
∴a=b=1時，原式有最小值1．
故選C．

點評：本題考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．