Question

如圖，在六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2。

（1）求證：A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面；
（2）求證：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（3）求二面角A-BB₁-C的大小（用反三角函數值表示）。

Answer 1

解：（1）∵平面，平面 ∴， 平面平面 于是， 設分別為的中點，連結， 有 ∴， 于是 由，得， 故，與共面 過點作平面于點O， 則，連結， 于是，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 所以點O在BD上，故與共面。
（2）證明：∵平面， ∴， 又（正方形的對角線互相垂直）， 與是平面內的兩條相交直線， ∴平面 又平面過AC， ∴平面平面。 （3）∵直線是直線在平面上的射影，， 根據三垂線定理，有 過點A在平面內作于，連結， 則平面， 于是， 所以，是二面角的一個平面角 根據勾股定理，有 ∵，有，，， ， ， 二面角的大小為。