Question

已知定義域為的函數是奇函數.

（1）求的值

（2）判斷并證明的單調性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：

（1）由題意可得函數的定義域是是奇函數，把,代入可得的值．

（2）直接利用函數單調性的定義進行判斷,判斷單調性的解題過程為做差,變形,判斷符號,結論.

（3）由（1）可得在它的定義域是是減函數，且是奇函數，不等式化為,可得 ，分和兩種情況分別求出實數的取值范圍

試題解析：(1) 由得

檢驗: 時,

對恒成立,即是奇函數.

(2)判斷:單調遞增

證明:設則

即

又即，即，即

在上是增函數

(3)是奇函數

不等式

在上是增函數

對任意的，不等式恒成立

即對任意的恒成立

即對任意的恒成立

第一類:當時,不等式即為恒成立,合題意;

第二類:當時,有即

綜上:實數的取值范圍為

考點：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合應用，函數的恒成立問題,考查了分類討論的數學思想.