Question

設f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的導數為f′(x)，若函數y＝f′(x)
的圖象關于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0.
①求實數a，b的值；②求函數f(x)的極值．

Answer 1

①a＝3，b＝－12②－6

①∵f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1，
∴f′(x)＝6x²＋2ax＋b.
由題意知，－＝－且6×1²＋2a×1＋b＝0，
∴a＝3，b＝－12.
②由①知，f(x)＝2x³＋3x²－12x＋1.
∴f′(x)＝6x²＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.
由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－2<x<1.
∴f(x)在(－∞，－2)上遞增，(－2,1)上遞減，(1，＋∞)上遞增．
∴當x＝－2時，f(x)取得極大值f(－2)＝21，當x＝1時，f(x)取得極小值f(1)＝－6