Question

已知函數f（x）=aln（x+1）-x²，若在區間（0，1）內任取兩個不同實數m，n，不等式

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＜1恒成立，則實數a的取值范圍是______．

Answer 1

由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，則表示點（m+1，f（m+1）） 與點（n+1，f（n+1））連線的斜率，因實數p，q在區間（0，1）內，故m+1和n+1在區間（1，2）內．
∵不等式

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，恒成立，
∴函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率小于1，
故函數的導數小1在（1，2）內恒成立．
由函數的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＜1 在（1，2）內恒成立．
即 a＜2x²+3x+1在（1，2）內恒成立．
由于二次函數y=2x²+3x+1在[1，2]上是單調增函數，
故 x=1時，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最小值為6，
∴a≤6，
故答案為：a≤6．