Question

第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分.
已知點為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過圓上任意一點作切線交雙曲線于兩個不同點，中點為，
求證：；
（3）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和，求的值

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）

本試題主要考查了雙曲線的運用。
解：（1）設的坐標分別為----------------1分
因為點M在雙曲線C上，所以，即，所以------2分
在中，，，所以-------3分
由雙曲線的定義可知：
故雙曲線C的方程為：-------------------4分
（2）①當切線l的斜率存在
設，切線的方程為：
代入雙曲線C中，化簡得： 
所以-------------------6分
因為直線l與圓O相切，所以，代入上式，得-----------7分
設點M的坐標為，則

所以-------------------8分
即|AB|=2|OM|成立
②當切線l的斜率不存在時，
，
即|AB|=2|OM|成立-------------------10分
（3）由條件可知：兩條漸近線分別為

------11分
設雙曲線C上的點P(x₀,y₀)，
則點P到兩條漸近線的距離分別為--------------13分
因為P(x₀,y₀)，在雙曲線C：上，所以
故-------------------14分
設 -------------15分
-----16分