Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an= +2（n﹣1）（n∈N*）．
（1）求證：數列{an}為等差數列，并分別寫出an和Sn關于n的表達式；
（2）設數列 的前n項和為Tn ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an= +2（n﹣1），得Sn=nan﹣2n（n﹣1）（n∈N*）．

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣4（n﹣1），即an﹣an﹣1=4，

∴數列{an}是以a1=1為首項，4為公差的等差數列．

于是，an=4n﹣3，Sn= =2n2﹣n（n∈N*）

（2）證明：Tn= + + +…+

= + + +…+ ．

= [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]

= （1﹣ ）= ＜ =

又由題意知Tn單調遞增，故Tn≥T1= ，

于是， ≤Tn＜

【解析】（1）由an= +2（n﹣1），得Sn=nan﹣2n（n﹣1）（n∈N*），由此能證明數列{an}為等差數列，并能求出an和Sn關于n的表達式．（2）由 =（ ﹣ ），利用裂項求和法能證明 ≤Tn＜ ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．