Question

【題目】已知函數f（x）= +b（a，b∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x﹣1．
（1）求實數a，b的值及函數f（x）的單調區間．
（2）當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，比較x1+x2與2e（e為自然對數的底數）的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

∵函數f（x）圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x﹣1，

∴ ，

∴f（x）= ，定義域為（0，+∞），

∴f′（x）=

∴x∈（0，e），f′（x）＞0，x∈（e，+∞），f′（x）＜0，

∴f（x）的單調增區間是（0，e），單調減區間是（e，+∞）

（2）解：當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，x1+x2＞2e，

下面證明結論，

當x＞e時，f（x）= ＞0，由（1）可知f（x）的單調增區間是（0，e），單調減區間是（e，+∞），

又f（1）=0，

∴若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則x1，x2都大于1，且必有一個小于e，一個大于e，

設1＜x1＜e＜x2，

當x2≥2e時，顯然x1+x2＞2e，

當e＜x2＜2e時，

∴f（x1）﹣f（2e﹣x2）=f（x2）﹣f（2e﹣x2）= ﹣ ，

設g（x）= ﹣ ，e＜x＜2e，

∴g′（x）= {4e（e﹣x）（1﹣lnx）+x2[（2﹣ln（﹣（x﹣e）2+e2]}，

∵e＜x＜2e，

∴0＜﹣（x﹣e）2+e2＜e2，

∴2﹣ln（﹣（x﹣e）2+e2＞0

∵4e（e﹣x）（1﹣lnx）＞0，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在（e，2e）上單調遞增，

∴g（x）＞g（e）=0，

∴f（x1）＞f（2e﹣x2），

∵1＜x1＜e＜x2，

∴0＜2e﹣x2＜e，

∵f（x）在（0，e）上單調遞增，

∴x1＞2e﹣x2，

∴x1+x2＞2e，

綜上所述，當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，x1+x2＞2e

【解析】（1）根據導數幾何意義即可求出a，b的值，根據導數和函數的單調性的關系即可求出，（2）當f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，x1+x2＞2e，設1＜x1＜e＜x2，當x2≥2e時，顯然x1+x2＞2e，當e＜x2＜2e時，構造函數，根據函數的單調性即可證明
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．