Question

【題目】已知圓,滿足： ①截 y 軸所得弦長為； ②被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為.

（1）求在滿足條件①②的所有圓中，使代數式 取得最小值時，圓的方程；

（2）在（1）中， 是圓上的任意一點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）畫出圖象，圓心坐標為，半徑為，則點到軸，軸的距離分別為.利用圓的弦長公式和半徑、結合配方法建立方程，進而求出圓心和半徑；（2）表示的是圓上的點和點直線連線斜率的取值范圍，注意，結合圖象可知，斜率的取值范圍是.

試題解析：

（1）如圖所示，圓心坐標為 , 半徑為，則點到軸，軸的距離分別為.

圓被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為，，取的中點，連接，則有，取圓截軸的弦的中點，連接圓截軸所得弦長為，，即.則，

當時，取得最小值，此時，或.對應的圓為：,或.

（2）因為由（1）知，在一段圓弧上，該圓弧端坐標點為和， 表示與連線的斜率，其范圍是，即是.