Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）對于任意且時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）對f（x）求導，分和，確定導函數的正負，從而判斷函數的單調性；

（2）由題意原不等式可變形為恒成立，構造函數，原題轉化為在上為單調增函數，即對恒成立，分離參數得到，利用導數研究不等式右邊函數的最值即可．

（1），

當時，，此時在上為單調增函數；

當時，在上有，在為單調減函數；在上有，在為單調增函數.

綜上所述：當時，在上為單調增函數；

當時，在為單調減函數，在為單調增函數.

（2）∵恒成立，

∴恒成立，

令

題意即為恒成立，而，

故上述不等式轉化為在上為單調增函數，

即對恒成立；

，

題意即為不等式對恒成立，

即對恒成立，

則

令，

，在上為增函數，且；

于是在上有，在上有，

即函數在上為減函數，在上為增函數，

所以在處取得最小值，

因此，故實數的范圍為