Question

已知數列的前項和為，且， .
（1）求的值；
（2）猜想的通項公式，并用數學歸納法證明.

Answer 1

（1）（2）通項為證明：①當時，由條件知等式成立，②假設當（且）等式成立，即：
那么當時，，，由得
由①②可知，命題對一切都成立

試題分析：⑴，且
當時，，解得：；
當時，，解得：
⑵由⑴可以猜想的通項為
用數學歸納法證明如下：
①當時，由條件知等式成立；
②假設當（且）等式成立，即：
那么當時，由條件有：
； 
，即， ，即：當時等式也成立．
由①②可知，命題對一切都成立．
點評：已知條件是關于的關系式，此關系式經常用到
有關于正整數的命題常用數學歸納法證明，其主要步驟：第一步，n取最小的正整數時命題成立，第二步，假設時命題成立，借此來證明時命題成立