Question

設函數f(x)＝x³－(1＋a)x²＋4ax＋24a，其中常數a>1.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

(1) f(x)在區間(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函數，在區間(2,2a)是減函數.
(2)a的取范圍是(1,6).

(1)求導后，可得,然后利用導數大于（小于）零，求函數的單調增（減）區間.
（2）把握住本小題求解問題的本質是當x≥0時，f(x)的最小值大于零恒成立，求a的取值范圍，因而利用導數求最小值即可
(1)f′(x)＝x²－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a) 由已知a>1，∴2a>2，∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，∴當x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)時，f(x)單調遞增，當x∈(2,2a)時，f(x)單調遞減.綜上，當a>1時，f(x)在區間(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函數，在區間(2,2a)是減函數.
(2)由(1)知，當x≥0時，f(x)在x＝2a或x＝0處取得最小值.
f(2a)＝(2a) ³－(1＋a)(2a)²＋4a·2a＋24a
＝－a³＋4a²＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，f (0)＝24a.

解得1<a<6.故a的取范圍是(1,6).