Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,且該橢圓過(guò)定點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,以為鄰邊作平行四邊形,求對(duì)角線長(zhǎng)度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

試題分析：（1）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，實(shí)質(zhì)就是要求的值，就是找兩個(gè)關(guān)于的等量關(guān)系，本題中焦點(diǎn)已知說(shuō)明，又有橢圓過(guò)點(diǎn)，只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得的一個(gè)等式，兩者結(jié)合可解得；（2）此時(shí)中直線的斜率可以不存在，但一定不會(huì)為0，為了避免分類(lèi)可設(shè)直線方程為，下面我們只要把的長(zhǎng)表示為的函數(shù)，設(shè)，把代入橢圓方程化簡(jiǎn)后可得，由可得，因此，這樣可由得，而，因此可用表示出來(lái)，由函數(shù)和性質(zhì)可得其最小值．

試題解析：（1）,標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線,由,得,

設(shè),則得

從而

由得,從而,解得

,,令,則,當(dāng)時(shí),.