Question

：如圖，四邊形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．
（Ⅰ）證明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直線BD與平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的正切值．

Answer 1

：略

：（Ⅰ）證明：如圖，取PD的中點E，連EO，EM．
∵EO∥PB，EO＝PB，MA∥PB，MA＝PB，∴EO∥MA，且EO＝MA．
∴四邊形MAOE是平行四邊形．∴ME∥AC．
又∵AC(/平面PMD，MEÌ平面PMD， ∴AC∥平面PMD．                …………3分
（Ⅱ）如圖，PB^平面ABCD，CDÌ平面ABCD，∴CD^PB．
又∵CD^BC，∴CD^平面PBC． ∵CDÌ平面PCD，∴平面PBC^平面PCD．
過B作BF^PC于F，則BF^平面PDC，連DF，則DF為BD在平面PCD上的射影．
∴ÐBDF是直線BD與平面PDC所成的角．
不妨設AB＝2，則在Rt△PBC中，PB＝BC＝2，BF^PC，∴BF＝PC＝．
∵BD＝2．∴在Rt△BFD中，BF＝BD，∴ÐBDF＝．
∴直線BD與平面PCD所成的角是．                               ………………5分
（Ⅲ）解：如圖，分別延長PM，BA，設PM∩BA＝G，連DG，
則平面PMD∩平面ABCD＝DG．
不妨設AB＝2，∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2．
過A作AN^DG于N，連MN． ∵PB^平面ABCD，
∴MA^平面ABCD，∴MN^DG．∴ÐMNA是平面PMD與平面ABCD
所成的二面角的平面角（銳角）．在Rt△MAN中，
tanÐMNA＝＝．
∴平面PMD與平面ABCD所成的二面角的正切值是