Question

(理)如圖a所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為等腰直角三角形，AC=BC=a，AA₁=AB，E是AB₁上的點．

(1)求二面角B₁-AC-B的平面角的正切值；

(2)如何確定點E的位置，使得GE⊥AB₁?并求此時C、E兩點的距離．

(文)如圖b所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為等腰直角三角形，AC=BC=a，AA₁=AB，C點在AB₁上的射影為E，D為AB的中點．

(1)求證：AB₁⊥平面CED；

(2)求二面角B₁-AC-B的平面角的正切值．

第17題圖

Answer 1

答案：(理)(1)∵AC⊥平面B₁BCC₁

∴AC⊥B₁C，又AC⊥BC

∴∠B₁CB是二面角B₁-AC-B的平面角

在Rt△B₁BC中，B₁B=AB=，BC=a

∴tan∠B₁CB=.

即二面角B₁-AC-B的平面角的正切值為．

(2)作CD⊥AB，垂足為D，作DE⊥AB₁，垂足為E，

∵CD⊥AB，CD⊥AB₁’∴CD⊥平面A₁ABB₁

∴CD⊥AB₁，又DE⊥AB₁

∴AB₁⊥平面EDC，∴AB₁⊥EC

即此時E點即為所求．

Rt△EDC中，DC=a，ED=AD=

∴EC=.

(文)(1)CD⊥平面A₁ABB₁

∴AB₁⊥平面CED

(2)∵AC⊥BC，ACE⊥C₁C，AC⊥平面B₁BCC₁

∴AC⊥B₁C，又AC⊥BC

∴∠B₁CB是二面角B₁-AC-B的平面角

在Rt△B₁BC中，B₁B=AB=a，BC=a

∴tan∠B₁CB=.

即二面角B₁-AC-B的平面角的正切值為．