Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求的最小值；

（2）若函數在上存在極值點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求導后可得，令，利用導數可知函數恒成立，由此可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，進而得到最小值；

（2）分及討論，當時，無極值；當時，利用導數可知滿足題意，進而得出結論．

解：（1）由已知得當時，

．

令，則．

當時，；當時，．

易知函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，所以，

則當時，；當時，，

因此在上單調遞減，在上單調遞增，

所以．

（2）

令．

①當時，．

又因為，，所以，

此時在單調遞増，所以函數無極值．

②當時，，在上單調遞增．

又，，所以在上存在唯一零點，設為，

所以當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增，

所以當時，函數在上存在極值點．

綜上所述，的取值范圍是．