Question

【題目】已知點A是橢圓的上頂點，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點，點N在橢圓E上，且；

（1）當時，求的面積；

（2）當時，求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓對稱性確定直線斜率為1，斜率為-1，求出點坐標后可得三角形面積；

（2）由直線方程為求得點坐標（橫坐標即可），得，同理得（直線斜率為），利用得的方程，利用函數的知識（導數）證明此方程的解在區間上．

（1）由橢圓對稱性知點M、N的縱坐標相等，橫坐標互為相反數，且，

由題意，，方程為，于是可以設點其中，于是，解得，

所以.

（2）據題意，直線，聯立橢圓E，得：，

即：，則，那么，

同理，知：，

由，得：，即：.

令，則，

所以單調增，又，，

故存在唯一零點，即.