Question

關于x的方程(x²-1)²-|x²-1|+k=0，給出下列四個命題：

①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根.

其中假命題的個數是(    )

A.0                  B.1                   C.2                    D.3

Answer 1

解析：令t=x²-1，且y=t²-|t|,y=-k，在同一坐標系中作出函數y=t²-|t|,y=-k的圖像，如圖所示.

    當k=0時，函數y=t²-|t|,y=-k的圖像有3個交點，-1,0,1,相應地，應有x²-1=1,x²-1=-1，x²-1=0，則此時方程有5個根；

    當k＜0時，此時-k＞0，函數y=t²-|t|,y=-k的圖像有2個交點，此時t²-|t|+k=0，Δ=1-4k＞0，從而|t|=，即x²=，或x²=＜0(舍去)，則此時方程有2個不同的根；

    當k=時，函數y=t²-|t|,y=-k的圖像有2個交點，且|x²-1|=，則此時方程有4個根；

    當0＜k＜時，函數y=t²-|t|,y=-k的圖像有4個交點，從而原方程有8個根.

    從而假命題的個數為0，故選A.

答案：A