Question

已知拋物線y²=2px(p>0)過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,|AB|≤2p.
(1)求實數a的取值范圍;
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值.

Answer 1

(1)∴-<a≤-.
(2)△NBA的面積最大值為p².

(1)設直線l:y=x-a,
由x²-2ax+a²-2px=0,
即x²-(2a+2p)x+a²=0.設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則
則|AB|=
=≤2p.
∴0<8p(p+2a)≤4p².
又∵p>0,∴-<a≤-.
(2)設AB的垂直平分線交AB于點Q,令Q(x₀,y₀),
則
∴|QM|²=(a+p-a)²+(p-0)²=2p².
又△MNQ為等腰直角三角形,
∴|QN|=|QM|=p.
∴S_△NAB=|AB|·|QN|=p·|AB|≤p·2p=p²,
即△NBA的面積最大值為p².