Question

（2011•天津模擬）設

OA

=(1，-2)，

OB

=(a，-1)，

OC

=(-b，0)，a＞0，b＞0，O為坐標原點，若A、B、C三點共線，則

1

a

+

2

b

的最小值是（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：根據題意首先求出

AB

和

AC

的坐標，再根據兩個向量共線的性質得到2a+b=1，然后結合所求的式子的結構特征利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：由題意可得：

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0），
所以

AB

=

OB

-

OA

=（a-1，1），

AC

=

OC

-

OA

=（-b-1，2）．
又∵A、B、C三點共線，
∴

AB

∥

AC

，從而（a-1 ）×2-1×（-b-1）=0，
∴可得2a+b=1．
又∵a＞0，b＞0
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）•（2a+b）=4+（

b

a

+

4a

b

）≥4+4=8
故

1

a

+

2

b

的最小值是8．
故選D．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握向量共線與點共線之間的關系，以及兩個向量共線時坐標形式的運算公式，考查基本不等式的應用，此題得到2a+b=1是解題的關鍵．