Question

已知函數的圖像在點處的切線方程為.
（I）求實數，的值；
（Ⅱ）當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I），；（Ⅱ）實數的取值范圍為．

試題分析：（I）由已知條件，先求函數的導數，利用導數的幾何意義，列出方程組：，進而可求得實數，的值；（Ⅱ）當時，恒成立由（I）知，當時，恒成立恒成立，．構造函數，，先求出函數的導數：，再設，求函數導數，可知，從而在區間上單調遞減，，由此得，故在區間上單調遞減，可求得在區間上的最小值，最后由求得實數的取值范圍．
試題解析：（I）.由于直線的斜率為且過點．                                    2分
，解得，．                   6分
（Ⅱ）由（I）知，當時，恒成立等價于恒成立．                                          8分
記，，則，記，則，在區間上單調遞減，，故，在區間上單調遞減，，                                   11分
所以，實數的取值范圍為．                       13分